2차 평면에서 1차 방정식의 설명과 기울기

책에서 배우는 내용

 

책에서 배우는 내용은 이렇습니다. 직선을 그리고, 직선의 기울기에 대한 설명을 듣습니다. 그리고 그 기울기를 이용하여, 평행과 직교에 대한 설명도 함께 진행을 한 뒤, 지금까지 점과 점을 잇는 직선으로 가정을 하다가 방정식으로 변환을 하는 방법을 알아갑니다.
그 뒤의 내용으로는 3차원 방정식의 내용이 있습니다만, 처음부터 한번에 3차원 방정식으로 넘어가면 어렵게 느껴질 수 있으니 이번 포스팅은 2차 평면에서의 1차 방정식에 대한 내용으로 마무리를 짓겠습니다.

이번 포스팅에서 사용한 그래프 프로그램은 아래의 첨부 파일입니다.


 

수학적 접근

 

1차 방정식이란 무엇인가?
예를 들어서 a라는 변수와 b라는 변수가 있을 때, 이 프로그래밍적 수식은 a는 계속해서 scanf로 값을 받고, b = a; 인 형태의 수식이 있다고 합시다. b = a라는 규칙이 존재하기 때문에 a라는 값을 -50 부터 +50까지 계속해서 값을 변화시킨다고 하더라도 b는 결국 변한 a값의 영향을 받습니다.
방정식이란, 이러한 특정한 규칙에 따라서 그 수의 움직임을 x와 y와 같은 변수를 이용하여 표기하는 것입니다. 이 짓을 왜 하냐고요? 시작부터 이런 질문을 하시는 분이라면 아직 절박한 상황도 아니고 재미조차 느끼지 못하고 있기 때문에 그냥 이 웹 페이지를 종료하시면 됩니다.

방정식이라는 것은 초등학생 때 배우기 시작하는 것으로 이에 대한 특별한 설명은 필요없으리라 생각합니다.

우선 간단하게, x = y라는 식을 만들어보도록 합시다.


이를 그래프로 표현하면 위와 같은 그래프를 얻을 수 있습니다. x값이 변함에 따라 y값도 일정하게 변화합니다. 이러한 규칙을 간단하게 식으로 표현하는 것이 바로 방정식입니다. 우선 우리는 정수에 한해서 생각을 한다면, x의 값이 2가 들어가면 y의 값도 2가 된다는 사실을 위의 그래프를 통해 알 수 있습니다. 혹, x의 값이 -2라면, y의 값도 -2라는 사실도 알 수 있습니다. 이 그래프를 보면 '아! y의 값은 언제는 x의 값과 같구나!' 라는 생각이 드셨다면 좋겠습니다. 우리는 방정식을 가지고 그래프를 만들지는 않더라도 머리속에 떠올라야 하고, 그래프를 보면 대략적인 방정식이 머리속에서 떠올라야 합니다.

우선 기울기에 대한 설명을 조금 미루고 1차 방정식의 성질적인 부분에 대해서 설명을 하도록 하겠습니다.

위의 그래프는 y = x + 2의 방정식을 그래프로 표현한 것입니다. 최초의 그래프와 어떻게 달라졌나요? 네, x의 값이 0일 때, y의 값은 2가 되었고, y의 값이 0일 때, x의 값은 -2가 되었습니다. 보통 수학 교과서에서는 y가 0일 때 x의 값을 구하라는 식으로 문제가 나오고는 했었는데요, 이런 부분은 제쳐두고 성질에 대한 설명을 할 것이기 때문에 y의 값이 2가 되었다는 사실에 주목을 해주시기 바랍니다. 하지만 이 그래프는 아래의 그래프와도 같습니다.

네, 그래프는 정말 같은 그래프입니다. 하지만 수식은 이와 같습니다. y - 2 = x (직접 대입을 해보세요.)
방정식은 어디까지나 등가법칙에 따라서 움직입니다. 만약 x가 0이라면 y - 2 = 0이 되어야 합니다. 그렇다면 y - 2가 0이 되기위한 조건은 무엇인가요? 네, 그렇습니다. y 가 2여야만 0 = 0이라는 식이 성립하게 되는 것입니다. 이러한 성질을 가지고 있기 때문에 위와 같은 그래프가 만들어지는 것입니다. y 값에 변화를 주면 그래프는 y축을 중심으로 이동한다는 사실입니다. x축을 기준으로 움직이는 것은 x의 값에 변화를 주면 됩니다만, 일단 1차 방정식에서는 전혀 해당이 되지 않으니 그냥 이정도로 넘어가도록 하겠습니다.

기울기에 대해서 이야기를 하도록 하겠습니다. 기울기는 x값이 일정량 이동했을 때, y값을 얼마나 이동을 했느냐를 가지고 그 비율을 나타낸 것입니다. 예를 들어서 위의 그래프에서는 x값이 2 증가할 때, y값은 2가 증가합니다.
수식은 y의 변화량 / x의 변화량이 됩니다. 따라서 2/2 = 1이 됩니다.

위의 그래프는 서로 다른 기울기를 가지고 있는 3개의 그래프를 표시한 것입니다. 붉은색은 2x, 분홍색은 x, 그리고 푸른색은 1/2*x입니다. 이 부분은 나중에 미분을 배우시면 굉장히 쉽게 느껴지시겠지만, 우선 기울기 자체에 대한 개념을 익히기 위한 것이므로 x의 변화량에 따른 y의 변화량을 체크하면 각각 2, 1, 0.5가 나온다는 것을 아실 수 있을겁니다. 즉, 기울기의 크기가 클수록 x의 변화량에 따른 y의 변화량이 크다는 뜻입니다.

평행에 대해서 이야기를 하도록 하겠습니다.


위의 그래프와 같이 동일한 기울기를 가지고 있는 직선은 서로 영원히 겹치지 않습니다. 이러한 상태를 평행하다. 라고 정의합니다. 두 직선이 평행하기 위한 가장 큰 조건은 기울기가 같아야 한다는 것입니다.


반면에 위의 그래프는 어떠한가요? 서로 90도로 직각으로 만나고 있습니다. 이러한 상황을 '직교' 한다고 합니다. 직교란, 두 직선이 마주쳤을 때, 그 각이 90도가 된다는 것입니다. 이 논리는 여기 뿐 아니라 나중에도 계속해서 사용하는 논리이기 때문에 잊지 말고 계셨으면 합니다.

평행은 기울기가 같다는 조건이 붙는데, 반면에 직교를 하기 위한 조건은 무엇일까요? 위의 붉은색의 그래프의 기울기와 분홍색의 그래프의 기울기를 각각 a와 b라고 가정을 하고, 이 두 그래프가 직교를 한다면 a * b의 값은 -1이 나와야만 합니다. 실제로 붉은색의 그래프는 y = 2x의 식을 가지고 있고, 분홍색은 y = -0.5x의 식을 가지고 있습니다. 따라서 이 둘의 기울기인 2와 -0.5를 곱하면 -1이 나온다는 사실을 알 수 있습니다.

또한 a * b = -1이라는 원칙을 이용하여, a = -1/b라는 공식도 유추할 수 있습니다. 그렇기 때문에 우리는 직선 하나의 기울기를 안다면 직교를 하는 직선의 기울기를 바로 구할 수 있다는 것입니다.

프로그래밍적 접근

 

* 두 점의 기울기를 구하는 함수
int slopeBetweenPoints(int x1, int x2, int y1, int y2) {
return (y2 - y1)/(x2 - x1);
}

참고자료

 

게임 프로그래머를 위한 기초 수학과 물리
국내도서>컴퓨터/인터넷
저자 : 기획팀
출판 : 제우미디어 2004.12.22
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by 가우초 2011.08.13 15:14
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